Megtaláltam a választ, legalábbis arra a jobban definiált esetre, ha Euklidész axiómái helyett a pontosabb Hilbert-féle axiómarendszert veszem. A válasz ebben az esetben az, hogy ez az axiómarendszer egyértelműen meghatározza a modellt (ld. itt). Az axiómarendszereknek ezt a tulajdonságát úgy mondják, hogy az illető axiómarendszer kategorikus. Ha jól gondolom, ez azt jelenti, hogy a Hilbert-féle axiómarendszernek bármilyen modelljében definiálható az egyszeresen összefüggőség fogalma, és minden modellje egyszeresen összefüggő.
Az nem rendes háromszög, hanem mondjuk elfajult. Ha úgy fogalmazol, hogy a háromszög belső szögeinek összege, akkor már kiesnek az ilyen elfajult esetek, mert mondjuk nincs belsejük.
Másfelől meg lehet, a geometria megfogalmazásaiba nincsenek benne topológiai vonatkozások, mert a geometria a matematikatudomány korábbi múltjait idézi, amikor topológiai kérdésekkel és esetekkel nem foglalkoztak. Ha ezek belerondító hozományait ki akarjuk ejteni, akkor gondosabb megfogalmazás lehet szükséges.
A kérdésedben pl. a sík (vagy tér) teljessége lehet egy kulcsszó, de még akkor is ott van az, hogy a végtelenben topológiailag összekapcsoljuk-e, vagy nem, a végeket. Nem hinném, hogy ezeket a topológiai dolgokat pusztán a geometria egy gondatlanabbnak mondható axiómamegfogalmazásával kellene beállítani, de a matematika a szigora miatt akár így is kiszabhatja ezeket.
(Pár éve Gergo73 egy vitánkban, ami a kvantumelméleti operátor spektrumának folytonos/diszkrét mivolta körül zajlott, a teljes euklideszi térre mindig tóruszt mondott. Most nem emlékszem miért, de szerintem az alapból nem tórusz, csak ha összekapcsolom a végtelenben, ami nem hinném, hogy automatikusan úgy lenne.)
Azt hiszem, már meg is találtam a választ a kérdésemre. A válasz pedig az, hogy a kérdésemben szereplő állítás, - miszerint az eulideszi geometria modelljének szükségképpen egyszeresen összefüggőnek kell lennie - nem is igaz. Eszerint a könyv szerint például a henger és a tórusz is modellje az euklideszi axiómáknak, pedig az nem egyszeresen összefüggő. De azért ezt még továbbra sem értem. Az eukideszi geometriában ugye egy háromszög szögeinek összege 180 fok. De a hengerre, vagy a tóruszra tudok olyan háromszöget is rajzolni, amely szögeinek az összege 540 fok (3 db. egyenesszög. Ez a háromszög pedig az a kör ami a henger, vagy tórusz középvonalára merőleges sík és a henger (vagy tórusz) metszete (megjelölve rajta 3 db. egymástól különböző pontot mint a háromszög csúcsait).
A Hilbert-féle aximarendszer a magyar nyelvű Wikipediában is benne van. Sőt, Orbán Béla és Radó Ferenc könyvében is, amit egyébként kifehérítettem, és OCR-eztem, hogy jobban olvasható legyen.
Egyébként az euklideszi geometriának elég meglepő modellje is van: a racionális koordinátájú pontokból álló sík. Ez azért annyira meglepő, mert ebben a modellben nem létezik például szabályos háromszög. Részletesebben ld. itt.
Az euklideszi geometria Hilbert-féle axiómarendszerével viszont már nincs ilyen baj. A topiknyitó kérdésben az "euklideszi sík" jelentheti nyugodtan a Hilbert-féle axiómarendszert is, ha úgy könnyebb a válasz.
A konstans 0 skalár görbületű 2-dimenziós Riemann-térben Euklidész axiómái érvényesek, egy konstans negatív görbületűben pedig a Bolyai-Lobacsevszkij-félék.
helyesen:
Az egyszeresen összefüggő konstans 0 skalár görbületű 2-dimenziós Riemann-térben Euklidész axiómái érvényesek, egy konstans negatív görbületűben pedig a Bolyai-Lobacsevszkij-félék.
(a nem egyszeresen összefüggők csak lokális modelljei ezeknek a geometriáknak)
Talán nem is jól fogalmaztam. Euklideszi, illetve hiperbolikus sík helyett inkább euklideszi illetve hiperbolikus geometriát kellett volna írnom, de azt is hangsúlyozni szerettem volna, hogy engem most csak a 2-dimenziós eset érdekel, ezért írtam így. Ezek axiómarendszerek. Mindkettő 5 axiómát tartalmaz, ezek közül az első 4 megegyezik egymáséval, az ötödik az euklideszi geometriában a párhuzamossági axióma, a hiperbolikusban pedig a hiperbolikus axióma (ld. itt).
Egy Riemann-tér akkor modellje egy axiómarendszernek (vagy akkor modellezi az axiómarendszert), ha érvényesek benne az axiómák. A 2-dimenziós Riemann-terek görbületi tenzorát egyértelműen jellemzi a skalár görbület, ami nem más, mint a Gauss-görbület 2-szerese. A konstans 0 skalár görbületű 2-dimenziós Riemann-térben Euklidész axiómái érvényesek, egy konstans negatív görbületűben pedig a Bolyai-Lobacsevszkij-félék.
Mit értesz pontosan az alatt, hogy a Riemann-terek modellezik az euklideszi vagy hiperbolikus síkot? És ekkor mi a modell? Az euklidesz és hiperbolikus sík ugye egyszeresen összefüggők(?)
Azok a Riemann-terek, amelyek az euklideszi, illetve a hiperboluikus síkot modellezik egyszeresen összefüggők. Ez vajon a modell tulajdonsága, vagy az axiómákból következik, hogy ez csak így lehet? Lehet Euklidész primitív fogalmaival* és axiómáival definiálni az egyszeres összefüggőséget? Most éppen ez érdekel, és mivel ennek valószínűleg folytatása is lesz, ezért nyitottam ezt a topikot. Persze minden ami geometria, az jöhet ide.
*A "primitív fogalom" nem becsmérlés, hanem egy szakkifejezés. Az axiómarendszerek által használt nem definiált fogalmakat nevezik így.
