Ahogy pk1 mondta, a sorozat és a sor két különböző fogalmat takar. A sorozat számok egy felsorolását jelenti (a1, a2, a3, ...), a sor pedig végtelen összeget (a1+a2+a3+...). Nagyon sok neves sorozat és sor van, de ezek többnyire konkrét sorozatokat és sorokat takarnak, nem pedig azok egy osztályát. Persze azért az utóbbira is vannak érdekes példák, pl. Beatty-sorozat.
De egyébként sorozat leírhat sorozatot, mint itt a növekvő különbségek szerint vagy ez matematikailag helytelen?
Minden sorozatot megadhatsz az első tagjával és a szomszédos tagok különbségeivel. Másként szólva minden sorozat felfogható egy sor részösszegeinek sorozataként. Pl. az 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, ... sorozat nem más, mint az 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... sor részösszegeinek sorozata, hiszen
1/2 = 1/2
1/2 + 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 31/32
...
A szomszédos tagok különbségeiből képezett sorozatot differenciasorozatnak nevezzük. Vegyük most az általad tekintett sorozatot (2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, ...), és ennek képezzük a differenciasorozatát, majd annak is a differenciasorozatát, stb.:
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, ...
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
Láthatjuk, hogy a harmadik differenciasorozat a nulla sorozat. Ez azért van, mert az eredeti sorozat egy másodfokú polinomnak az egymás utáni értékeiből áll, a jelen példában az n. tag n(n+1). Könnyű belátni, egy sorozat akkor és csak akkor áll egy legfeljebb d-ed fokú polinom egymás utáni értékeiből (p(1), p(2), p(3), ...), ha a (d+1). differenciasorozat a nulla sorozat. Minden differenciálással a polinom foka csökken eggyel. Az ilyen sorozatokat egyébként magasabb rendű számtani sorozatoknak is nevezzük (a közönséges számtani sorozat a d=1 eset).
Valójában a differenciasorozat képezése a valós függvény deriválásának az analogonja, az összegsorozat képezése pedig a valós függvények integrálásának az analogonja. Az előző bekezdésben említett állítás pedig analóg azzal az állítással, hogy egy f:(a,b)->R valós függvény (d+1). deriváltja pontosan akkor nulla, ha f legfeljebb d-edfokú polinom.
Egész számokból álló sorozatokról beszéltem az egyszerűség kedvéért, amelyekből kontinuum sok van. Szabály alatt sok mindent lehet érteni. Számomra a legtágabb osztály a rekurzíve felsorolható sorozat, ilyenből pedig megszámlálható sok van.
Jó kérdés. Mert ha pl. az is szabály, hogy "konstans sorozatunk valamennyi eleme az itt megadott valós szám: ...", akkor máris kontinuum számosságú szabályunk van.
Minden valós számhoz (vagy mondjuk a valós számok halmazának [0,1] zárt intervallumának minden eleméhez) hozzárendelhető egy 0-kból és 1-ekből álló végtelen sorozat (pl. a szám kettes számrendszerben felírt alakjának számjegyei), tehát kontinuum végtelen ilyen sorozat létezik (és ez még csak a 0-kat és 1-eket tartalmazó végtelen sorozatok). Ha pedig a szabályok felsorolhatók (valahogy mindegyik kaphat egy sorszámot), akkor... Szerintem erről lehet szó.
Emlékeim szerint a tankönyvben azt írták, hogy szövegesen is megadható. A szöveg tetszőlegesen hosszú lehet, akár elágazásokkal, például ha az előző páratlan volt vagy prímszám. Tehát explicit, implicit, szöveges. (Nem egészen ez volt írva, de a rekurzív formula az implicit alak speciális esete.) És persze a balparti/jobbparti definíciós szemlélet, egyszerűen megadom a sorozat elemeit, csak ez egy kicsit sokáig tart. Nevet adni mindegyiknek nehéz lenne. (A szabványoknak például számuk van, a legtöbb ismert csillagnak és galaxisnak is.)
OK, de azt biztos érted, hogy több képlet van, mint jelző. És mint mondtam, a legtöbb sorozat nem írható le képlettel, de más értelmes módon sem. Pl. a számítógépes programmal generálható sorozatokat rekurzívan felsorolhatónak nevezzük, de a legtöbb sorozat nem ilyen. Egyszerűen több sorozat van, mint számítógépes program.
Egyébként nem nagyon ismerek ilyen elnevezéseket sorozatokra. Ha vannak is ilyen elnevezések, a matematikában nem fontosak. A lineárisan rekurzív sorozatok megadhatók képlettel, és általánosítják a számtani sorozatokat és a mértani sorozatokat.
Persze van rengeteg neves konkrét sorozat, még online enciklopédiájuk is van több százezer sorozattal.
Szabályszerűen leírható: úgy értem képlettel. Nyilván ez nem egy random sorozat, mint az érmedobás. Obádovics könyve 3-féle sorozatról beszél (számtani, mértani, harmonikus). Valahol alteráló, előjelváltó sorral is találkoztam régebben, de nem vagyok matematikus mint látszik, így sok minden létezik, amiről sosem hallhattam, ezért kérdezek.
Nem tudom, mit értesz azon, hogy "szabályszerűen leírható". A legtöbb sorozat nem írható le semmilyen értelmes módon. Kontinuum sok végtelen sorozat van egész számokból, de csak megszámlálható sok "szabály". Szóval a legtöbb sorozathoz nem tartozik szabály.
Gondolj arra, hogy feldobsz egy érmét végtelen sokszor, és a kimenetelekből kapsz egy végtelen 0-1 sorozatot (0 = fej, 1 = írás). Ez egy teljesen korrekt sorozat, de általában nincs rá semmiféle szabály, hiszen egy véletlen érmedobálás kimeneteiről beszélünk.
Az "autoloader" kifejezés a programozásban egy olyan mechanizmust jelent, amely automatikusan betölti a szükséges kódokat vagy osztályokat anélkül, hogy explicit módon kellene importálni vagy include-olni azokat minden egyes fájlban.
Például a PHP-ban az autoloading egy gyakran használt funkció, amely lehetővé teszi, hogy a szükséges osztályokat vagy fájlokat dinamikusan betöltsük, amikor először hivatkozunk rájuk. Ez jelentősen leegyszerűsíti a kód karbantartását és javítja a teljesítményt, mivel csak a szükséges fájlokat tölti be.
Az autoloaderek használata különösen hasznos nagyobb projektekben vagy keretrendszerekben, mint például a Composer PHP csomagkezelőben vagy a PSR-4 szabványban, amely meghatározza, hogyan kell az osztályok és a fájlok betöltését megszervezni.
A JavaScript-ben is léteznek hasonló mechanizmusok, bár a megvalósítás és a terminológia eltérhet a különböző környezetekben (pl. Node.js modulrendszere). A JavaScript modulrendszerek, mint például az ES6 modulok, szintén automatikusan betölthetik a szükséges modulokat.
Összefoglalva, az "autoloader" olyan eszköz vagy mechanizmus, amely megkönnyíti a programok futása közben a szükséges kódok betöltését, ezzel növelve a kód hatékonyságát és karbantarthatóságát.
Mondjuk az elsővel majdhogynem feltaláltad a függvényhívást: a ⦓⁸ ... ⁸⦔ köznapian írva fn8( ...) vagy EzANeve( ... ) tehát a hívott függvénynek nem csak sorszáma lehet, hanem neve is.
