Köszi, igen, pont nem azt sikerült írnom, amire gondoltam. :/
Amit linkeltél az nagyon jó, thx, az ilyen írásokat szeretem, és pont benne volt az a félreérthetőség is, aminek kerestem a tisztázását, és a megfelelő egyértelmű jelölésformáját.
Akkor most már tisztábban látva gondolkodhatok tovább. :)
Ámde ha pl. f: R3 —> R és g: R —> R3 , akkor már nem.
De, ekkor is rendben van, csak minden derivált alatt a megfelelő Jacobi-mátrixot kell érteni. Lásd pl. a Theorem 1-et itt. A bizonyítás ugyanolyan egyszerű, mint a közönséges láncszabály esetében.
A konkrét példádban f' minden értéke egy 1x3-as mátrix, g' minden értéke egy 3x1-es mátrix, tehát az (f'∘g)g' minden értéke egy 1x1-es mátrix (hiszen egy 1x3-as mátrixot szorzunk 3x1-es mátrixszal), magyarán egy szám. Ez a szám pedig nem más, mint az (f∘g)'.
Azt rontottam el, hogy úgy hoztam be ide a példát, hogy túlegyszerűsítettem. Levettem mindent egydimenziósra, és nem vettem észre közben (mert azért én magamban félig mégis az eredeti többdimenziós verzióban gondolkoztam), hogy így működik rajta ez a közvetett deriválós dolog, amit végül Teve írt fel részletesen.
Írtam, hogy korábban zavart engem az induló parciális ∂ jel. Én akkor úgy gondolkoztam, hogy a deltának nem dimenziója a t, vagy másképpen mondva nem értelmezési tere, magtere, stb., hanem csak az, ami x-é, és persze ugyanaz a-é. Legyen ez többdimenziós. A t egy belső változó, a-hoz tartozik, annak az értelmezési tere, magtere, stb. Innen képez az a függvény.
Ha t egydimenziós, akkor nem d kellene inkább? Az elejére gondolok. Szerintem igen. Így:
Meg még az a kérdésem, hogy d vagy ∂, az nem szigorú? Néha így azt látom, hogy d helyett szoktak ∂-t is jelölni, vagy még itt-ott fordítva is. Mit mond a matematika erről? Azt tudom, hogy d a teljes differenciál jelölése, a ∂ pedig a parciálisé, azaz részleges differenciál jelölése. Ezt nyilván értem is, de engem ennek a pontos használata, ill. annak szigorúsága, érdekel. Mi a pontos szabály erre?
Egyszerűen csak fel kellett volna írnom rá a közvetett deriválást, és kész. 😩😡🤬
Azon voltam fennakadva (pedig gondoltam rá, csak elvetettem), hogy a delta dimenziójához nem tartozik hozzá a t, csak az x, és ez zavart ebben (meg ezzel kapcsolatban a parciális jel is, hogy akkor miért nem d...), hogy akkor az úgy nem ok., de mégis jó úgy is a közvetett deriválás.
Igen, tegnap már én is rájöttem, hogy a közvetett deriválás a megoldás kulcsa, csak már nem volt időm éjjel teljesen rendbetenni vele a kifejtést. Hát te korábban keltél, és most látom, le is írtad. Szuper, köszi. Sajnos korábban ezt elfelejtettem alkalmazni, mert fenn voltam akadva másik oldalról. Ezek a könyvek egyes helyeken kevés részletet tartalmaznak, és pont ez miatt kell részletesen foglalkozni a levezetés pontos menetével. Különben nem érti meg az ember igazán.
Kicsit googleztam, a következőket véltem találni (legyen most F egy R->R függvény, ami kompakt tartójú és végtelen sokszor deriválható, az integrálás pedig menjen a teljes R-en):
Hát ezek ilyen szinguláris matematikai dolgok, cuccok, "függvények". Majd megint jön mma, és páran, hogy nana, az nem standard math, olyan nincs, megmondta már anno Newton korában Berkeley püspök is a templomi katedráról. Pokolba kell vetni azokat, mert alvilági dolgok. :)
Szóval látjuk, hogy már ∂/∂t[δ(x-a(t))] itt problémás a dolog. Na most a következőre a deriválást kiviszi az integrálás elé, vagyis P(x)-et beviszi alá, látván az úgysem függvénye t-nek. Viszont azután, hogy így elvégzi a deltás integrálást, és P(x) megkapja a delta másik paraméterét a belső extraparaméterrel együtt, P(a(t)) ill. Pa(t) már függvénye a t-nek, és deriválható aszerint. Innentől a végkifejezéstől már nem látszik inkorrekt kifejezés, megy tovább a könyv. De ez így hamis, nem lehet jó. Hiába korrekt felírás önmagában a vége, az előtte lévő matematikai hibák miatt már nem vonatkoztatható arra a dologra, témára, amiből kiragadtam ezt a kalkulációs részt. P vagyis Pa illegálisan kapott egy deriválást, mert az már a deltára is hamis volt, értelmezhetetlen.
Jelöléssel a d/dx δ(x) egyszerűen δ'(x) aminek az integrálásával visszakapjuk a deltát. És így tovább akárhanyadik deriváltja. Ha integranduszban szerepel a deltaderivált, akkor a paraméterátadással együtt a deriválást is átadja. Röviden ennyi.
Nálam, vagyis ahonnan vettem a példát, ott az szerepel, amit felírtam. Egy olyan paraméter szerint kívánják deriválni a deltát, ami a kiterjedésén (dimenzióján) kívüli, vagyis egy paraméterének paramétere szerint. Nyilván a kifejezésnek utóbbi is paramétere, azaz az ennek a paraméternek is függvénye, de konkrétan a delta nem. (Nevezhetnénk így: a Dirac-delta extraparaméteres deriválása? ha egyéltalán van értelme, mert én egyelőre úgy látom, nincs, bár tegnap megadtam egy lehetőséget...) És ez így problémás szerintem. De ezzel együtt, kapcsolva, még egy probléma is van vele.
Ha a kiterjedési terén deriváljuk a deltát, azaz x-szerint, akkor értelmezve van a deriváltja, na de a t mentén deriválva ahol beleakadunk, ott szerintem csupán szakadás a tüske, nincs értelmezve a derivált ezen a helyen, máshol pedig nulla. Hasonlóan a t mentén integrálva sem 1 az integrál értéke, mert ez itt már nincs definiálva. (x-en igen)
Lehet hogy ő az ábrázoló geometriát kereste. A Monge-féle vetítési képsíkok rendszere, látszólagos vagy teljes méret szerkesztése, mérése kellett volna neki alapozónak. Elég kutyaütő dolog tud lenni, pl. egy kúp és egy henger ferde áthatásából létrejövő ellipszis-szerű metszési felületet síkban valódi nagyságában tudni kiszerkeszteni, hogy pl. testmodellt ragaszthassunk belőle makettként. Brrrr! A lényeg talán innen indul, mindenféle képelemző és korrekciókat végző szoftver méréseihez is sztem.
