Van még más is. Sorozat ez is, de nem mértani. n-(1/2) az n -ediken. A sorozat "önmagához" azaz n -hez konvergál. Ha n=20, a huszadik tag értéke 19,999999
A számológép pontossága véges, de ettől függetlenül
a) egyrészt az 1/2 kvóciensű mértani sorozat n-ik tagja valóban 0-hoz tart, másrészt
b) az 1/2 kvóciensű végtelen mértani sor összege valóban az első tag kétszerese (ha az első tag is 1/2, akkor az összeg 1).
Zénón ezt az utóbbit valóban nem értette, némi joggal. De gondold el: minden lépésben pontosan az utoljára hozzáadott tag hiányzik, hogy az összeg 1 legyen. (Pl. n = 4 esetén az utoljára hozzáadott tag 1/16, de a pillanatnyi összeg is épp 1/2+1/4+1/8+1/16 = 15/16 = 1-1/16. Ha most hozzáadod az 1/32-et, akkor az összeg 31/32 lesz, tehát épp 1/32 hiányzik az 1-hez s í. t.) Mivel viszont az utoljára hozzáadott tag a 0-hoz tart, ezért az összeg híja az egyhez képest szintén a 0-hoz, maga az összeg tehát 1-hez tart.
Nem szeretnék abba a hibába esni, mint Zenon filozófus ... Bár itt valamennyire más a szitu .... Nem fogok megsértődni, ha valaki "rendbe tesz" ....
Ez mértani sorozat, eléggé ismert: (1/2) az n-ediken. Amennyiben n=1, a sorozat első tagja 0,5 ami egyben a q hányados is. Ami a sorozat egyes tagjainak értékét illeti, nullához konvergálnak. Ha n=20, a z érték már 0,0000009. Tehát írhatom ? lim n tart a végtelenhez (1/2) az n -ediken = 0.
Ellenben. Az S összeg a 20 -dik taggal bezárólag: 0,5* ((0,5 a huszadikon -1)/(0,5-1))= 0,999999
n=50 esetén nekem már 1 -et mutat a (kilencvenes években vásárolt) zsebszámológépem. Írhatom ? lim szumma egytől végtelenig (1/2) az n-ediken=1 ?
Hibáztam valahol ? Nekem ez az egész nagyon furcsa ........
Divergens sorozatoknál biztos nem. De hát a mértani sorozatok sokszínűek, ezért szeretem őket. A számtani sorozatok rém unalmasak. Van az "egyik sem" kategória, itt azért érdemes körülnézni. A nevezetes eszámot, ha jól tudom, két különleges sorozat egyazon végeredménye alkotja ....
Tisztelt Zorko Fórumtárs, Ön nagyon profi matekból. De úgy vélem, fizikából is. Én maradok a mértani sorozatok mellett, igaz, ez nekem délutáni hobbi, de érdekesnek találom. És ennek kapcsán érdekes a határérték számítás is. Majd teszek ezzel kapcsolatos bejegyzéseket. Szép hétvégét mindenkinek, lényeg, ne unatkozzatok ! :-) :-)
En is kor felszinre gondoltam alapvetoen (a lecsengo exp fuggvenyt az x tengely korul megforgatva kapnank a "trombitaalaku" tartalyt), csak utana gondoltam arra, hogy lehet ez a hasab jellegu is. Ennek csupán annyi elonye van, hogy nem nagyon kell tovabbi szamolas hozza, mivel ennel a felszin aranyos lesz a fuggvenyertekkel (a teglalapnak csak az egyik oldalhossza valtozik, a masik fix), igy nem kell negyzetreemelni vagy gyokot vonni.
De amugy lehetne tenyleg szogletes trombita alaku is, ha az emlitett hasab-szeru esetben a teglalap masik oldala is csokken (a hasab magassaga is exponencialisan csokkenne), ez ugyanannak felelne meg mint a forgastestes eset, bejonne meg a gyokvonas is.
Azt nem teljesen ertem, hogy 2-es alaprol hogy tertel at e alapra, behelyettitve B-t nem a 2-(1/2)t negyzetgyoke jon ki...
Az alak igaz, tenyleg lehet barmi, csak eddig valamikepp "elkeszitheto" tartalyban gondolkodtam. :D
Értem. Nálam mindig kör, nálad mindig téglalalap a folyadékfelszín. Mindenképpen A0e-Bt (példánkban B=ln(2)/2 ) a felület nagysága, alakja azonban tetszőleges függvénye is lehet az időnek, akár még el is ágazhat, akár még fraktál is lehet valamely pillanatban, pl. Mandelbrot.
Ez teljesen jo gondolat, csak a valosagban (legalabb is egy kepzeletbeli idealizalt valóságban 😄) nem nagyon lehet megvalositani. (Az uveglapra kiontott viz eseten pl. ossze kellene huzodnia a "tocsanak", pontosan kovetve a fogyast, hogy mindig az adott magassag legyen ervenyben.)
Olyasmi nekem is eszembe jutott, hogy egy kis rolos, a felszinen uszo zaroszerkezettel (mint egy mini szekcionalt garazskapuval) lehetne a feluletet elzarni. Ahogy csokken a folyadékszint, a sullyedessel huzza magara egyre jobban a zarast.
Igen, ez jo gondolat, hogy a csokkenes felől megfogni. A terfogattal tulajdonkeppen nem is kell foglalkozni, az majd kiadodik. :)
Azt gondoltam meg vegig, hogy ha nem forgastest az edeny, hanem hanem csak egy "hasab" (az alapja az exp fuggveny alatti terulet, de el kell forgatni, hogy az x tengely lefele nezzen, es akkor az origo felol lehet tolteni), akkor pont a 2-(1/2)x exp fuggveny lesz. Ha megforgatjuk, akkor a felszin mar nem linearisan koveti a fuggvenyerteket, hanem negyzetesen, emiatt az exp fuggveny negyzetgyoket kell meg venni, ami viszont nem valtoztatja meg az exponencialis jelleget, csak "lassabb" lefutasu lesz. (A gyokvonas csak egy 1/2-es szorzót ad az eredeti fuggvenyunk kitevojenek, es kesz. :)
Ha esetleg visszatérünk a topik címéhez, akkor azt a kérdést vethetjük fel, hogy milyen elrendezés esetén arányos a felszín a térfogattal, mármint úgy értve, hogy a térfogat csökkenése a felszín arányos csökkenésével járjon.
Erre eddig a legjobb ötletem az volt, hogy a mélység (magasság) legyen konstans (A V=Ah képletben a h)
Nem, nem fix területű(felszínű), hanem változó területű, de fix vastagságú (mélységű) elrendezés.
Mondjuk ha kiöntöm a vizet egy üveglapra, nem fog korlátlanul szétfolyni, hanem egy pacát alkot, aminek a vastagsága a mennyiségtől függetlennek vehető, tehát a felület arányos az anyagmennyiség, a párolgás pedig a felülettel.
Ez olyan diákos válasz volt, dehát ez van, ha a kérdésben ott a spoiler is. :o)
Mindenesetre bármilyen alakú is az edény, a szint csökkenése egyenletes. És ebből már azonnal kijön az exponencioid (vagy ha úgy tetszik, a logaritmoid).
Az 1/x függvénynek egy primitív függvénye valóban az ln(x), de utóbbinak az x=1 környékén a görbülete elég nagy, így ott a véges szélességű téglalapterületekkel való közelítése meglehetősen pontatlan. Amúgy (lásd pl. itt) az 1/n sor n-ik részösszege és az ln(n) közötti különbség nagy n-ekre egy konkrét számhoz (Euler-Mascheroni-konstans, kb. γ = 0,577) tart. (A betűjel kis görög gamma, csak rosszul kivehető.)
Ha a téglák az előbbi részletezésem szerint fentről "építve" jobbra tartanak, akkor erre az elrendezésre az f(x) = ln(x)+γ függvényt pl. úgy lehet "ráhúzni", hogy az x tengely a legfelső tégla bal felső sarkán átmenő, lefelé mutató függőleges, az f(x) tengelye pedig az ugyanezen ponton átmenő, jobbra mutató vízszintes. (A koordinátarendszer tehát a hagyományosan ábrázolthoz képest 90°-kal jobbra el van forgatva.) Így ha a téglák vastagsága 1 egységnyi és hossza 2 egységnyi, akkor elég magas "épület" esetén a bal alsó sarkok a függvénygörbét közelítik.
De ha a torony alakjara vagy kivancsi akkor az 1/x primitivfuggvenye fogja megadni, mivel az 1/n tagok osszege az 1/x fuggveny integralfuggvenyere fog illeszkedni. Ha jol emlekszem, akkor az ln x fog ennek megfelelni.
Csak ugye ezt epitett toronykent nem nagyon lehet teljes egeszeben elkepzelni, mivel a "talpa" a minusz vegtelenben van. 😄 (Cserebe a kinyulasa is "eler" oldalra a plusz vegtelenig.)
Vagy most amugy nem is tudom, a lenti pelda az ln x melyik szakaszanak felelne meg...?? 🤓
A videoban aztan még emlitettek azt is, hogy amugy különben, ha valaki ilyen cellal akar epiteni, hogy tetszőleges tavolsagra ki tudjon nyulni az epulet, anelkul, hogy egyensulyat vesztene, akkor ez kozel sem a leghatekonyabb modszer. Kulonbozo trukkos modszerekkel sokkal kevesebb teglaval is elérhető ugyanakkora kinyulas.
