Kicsit elsüllyedt már a téma, de most olvastam vissza.
Építsünk felülről lefelé, ahogyan mondtad is. A legfelső tégla alatt jobbra csúsztatva helyezzük majd el a továbbiakat, és a téglák természetesen homogének és egyformák.
Legyen a téglák számunkra fontos ("hossz-") mérete 2 egység.
A legfelső téglának, mint egy téglából álló blokknak a súlypontja a bal szélétől 1 egységre van, ezért alá 1 egység eltolással tehetjük a következőt anélkül, hogy a felső lebillenne. Most ennek a két téglából álló blokknak tekintjük a súlypontját, ez az alsó tégla bal szélétől 1/2 egységnyire van (ezt még nagyon könnyű belátni); a kétdarabos blokk nem borul le, ha súlypontja alá tesszük a következő tégla bal szélét. Az így keletkező hármas blokk súlypontja az alsó tégla szélétől 1/3 egység távolságra van, az alá tesszük a negyedik tégla bal szélét stb. (*)
Ha a legfelső tégla a 0. sorszámú, akkor a k. sorszámú tégla a felette lévőhöz képest 1/k egységgel van jobbra eltolva, tehát n+1 db tégla esetén az építmény talpának bal széle a legfelső tégla bal szélétől vízszintesen 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+ ... +1/n egység távolságra van. E sor pedig divergens, tehát az építmény - kétségkívül meglepő módon - tetszőleges szélességet elérhet. (Már 5 tégla esetén az a helyzet áll elő, hogy a legfelső tégla teljes egészéban balra esik a legalsótól.)
(*) A tendencia viszonylag egyszerűen belátható, hiszen az n. tégla tömege önmagában a teljes rendszer tömegének 1/n-ed részét teszi ki, tehát egy hosszegységgel odébb helyezve az össztömeg súlypontjának helyét 1/n hosszegységgel mozdítaná el.
Hirtelen csak annyit gondoltam vegig, hogy egy henger eseten a felszin konstans, tehet felfele szelesednie kell, de ha egyenletesen szelesedik, az nem lesz jo, mert magassaggal a térfogat meg "hirtelenebbul" no, mint a párolgási felulet, ezert valami konvex alakunak kellene lennie az oldalfalnak.
Bar most igy masodjara belegondolva kicsit elbizonytalanodtam... 🤓
De a vegtelenul elkeskenyedo, "feneketlen" edeny teljesen jogos. 😊
Uj feladat, milyen alaku edénnyel (edenyekkel) valosithato meg a feladatbeli parolgasi jellemzo? 😄
Nem lehet paraboloid, mert abból véges idő alatt elpárolog. Ha felezési ideje van, akkor matematikailag végtelen idő alatt párolog el a véges mennyiség. Talán megforgatott exponenciális görbe? Mindenképpen "feneketlen", de véges edény.
Naszoval akkor mostmar hogy megvan az orankenti párolgás, nezhetjuk a visszafele szamolos otletemet:
10. ora vegen 2 l
10. ora elejen min. 2*gyokketto kell (kb. 2,82)
Ezt 1 liter hozzaadasaval nem kaphatjuk meg, mert akkor, a 9. ora vegen mar ket liter ala mentunk volna. Igy akkor marad ugyanaz az elv, hogy a 9. ora vegere min. 2 l maradjon.
Ezzel a logikaval visszapattogunk egesz az elejere, es kijon, hogy 3 literrel kell kezdenunk. (Mivel ez az elso 2,82-nel nagyobb egesz szam.)
Akkor innen indulva megvan, hogy mennyi marad az elso ora vegen (3/gyokketto), ami meg mindig kisebb 2,82-nel, tehat hozza kell adni egy litert.
A 2. ora vegen (3/gyokketto + 1)/gyokletto marad. Ha ez nagyobb 2,82-nel, akkor hurra lehet egy ures korunk (nem adunk hozza semmit), ha kisebb, akkor megint hozzaadunk egyet.
Megmondom oszinten egy gyors atolvasassal itt nem tudtam mindent kovetni, egy kicsit mintha tul is lenne bonyolitva... 😁
Differencialegyenletmegoldas valojaban nem szukseges itt, de a hatterben az van, hogy az ilyen tipusu problemak (mint itt ez a kepzeletbeli terfogataranyos parolgas, vagy hasonlo valos mechanizmus: egy test kihulese) megoldasa egy lecsengo exponencialis fuggveny. Jelen esetben 2-x/2, vagy 2-(1/2)t, ha az idot t-vel jeloljuk, es az "idoallandot" is szeretnenk kulon latni.
Tetszoleges ido alatti ertekvaltozast e fuggveny szerint lehet megmondani. A mi esetunkben viszont diffegyenlet ismeretek nelkul is "kisutheto" az orankenti 1/gyokkettes faktor. :)
Terfogataranyos parolgas lehetseges, ha a taroloedenyben a folyadekfelszin nem azonos, kulonbozo mennyisegek eseten. (pl. egy paraboloid alaku edeny.... Bar konkretan nem tudom, hogy ez az alak adja-e pont a terfogataranyos feluletet. Gyanitom inkabb valami 1 es 2 kozotti hatvany forgasteste a megoldas, ha ezt keressuk. :)
Nem, 0-5 közötti egész szám lehet a bevitel óránként, és minden óra végére minimum 2 egységnek kell lennie.
Ay óránkénti párolgási veszteséggel vagyok elakadva, az előbb írtam, mennyiség függvénye miatt állandóan változik, így mindig módosulnak az értékek, ennek okát nem értem.
Ahogy rámutattál, a diszkrét és folytonos elemek keveredése, illetve a két óránkénti párolgási veszteség miatt akadtam el.
Először csináltam egy lebutított megoldást, 2 egységgel kezdve, akkor a második órára az 1 veszteséget kell pótolni, és szembesültem vele, hogy a 10.órában is egyet betöltve 2+5=7 egységet kell beadni ahhoz, hogy mindig kettő legyen és a végén is kettő maradjon.
Ez megadta a stratégiát, minimális bevitelt kell megoldani, mert hatalmas a veszteség, de csak diszkrét elemet lehet bevinni, az a kérdés, milyen időközönként, és van-e olyan időpont, amikor nem kell bevinni, vagy egynél többet kell bevinni.
Itt kerültem szembe a számomra megoldhatatlan problémával, a veszteség óránkénti kiszámításával. A feladat azt írja, hogy két óránként feleződik a mennyiség, de általános iskolai fizikai ismereteim szerint a folyadék párolgási vesztesége állandó, mert nem a térfogattól, hanem a párolgási felülettől függ. Ebben a példában a felezés óránként nem értelmezhető, mert akkor egyre kisebb értéket kapunk.
pl: 2 bevitel-nél egy óra múlva 1 marad, de a második órára csak fél, miközben 1-nek kell lennie a második óra végére (3-nál 1,5-nek, stb.)
Tehát a párolgási veszteség ebben a példában nem lineáris, állandó, hanem mértani sorozat, az óránkénti veszteségek szorzata adja ki a felére csökkenést, de nem tudom kiszámolni, mert állandóan változik a bevitt mennyiség.
Ugye, a minimális példám alapján eleve 3-al kell kezdeni a 0.órában a mennyiséget, mert az első órában is van párolgási veszteség.
Kézenfekvő lenne, ha 4-el indulnék, akkor második órára kettőre csökkenne a mennyiség, és ezt lehetne játszani tovább, de akkor az összes párolgási mennyiség ay első megoldásomban szereplőnek úgy a duplájára nőne.
Ha viszont 3-at viszek be, akkor minden órában kell pótolni a kieső mennyiséget, és megint szembekerülök a párolgási veszteség problémájával, hogy a páros és páratlan órák mennyisége eltérő, így a két óránkénti veszteség eltérő eredményeket produkál.
(ugye, 0.órában 3-at bevive a 2.órára 1,5 marad, de ahhoz hozzáadódik az 1.órában bevitt 1 mennyiség vesztesége is.
Viszont a 0.órában bevitt 3-ból az 1.órára 2+x marad, 1-et hozzá kell adni, hogy ne csökkenjen a mennyiség 2 alá, tehát 3+x a mennyiség, így a 3.órára 1,5+(x/2)-nek kell maradnia, stb.
Elsőre az jutott eszembe, hogy fognék egy Excel táblát, és szépen lemodellezném az összes variációt, de aztán utánagondoltam, hogy ez 610 lehetőség, ami több mint 60 millió, tehát ezt inkább hagyjuk. :D
Szerintem azt a tükköt lehetne alkalmazni, hogy visszafelé számolni az egészet.
A 10. óra végén 2 liternek kell maradnia. (Egység helyett most litert használok, könnyebb leírni is. :D)
Azért kell ennyinek maradnia, mert ez a minimális mennyiség, és a minimális párolgást pedig akkor érjük el, ha minél kevesebb folyadék van a tartályban. (Mivel - a feladat szerint - térfogatarányosan párolog.)
Tehát ha 2 liter van a 10. óra végén, akkor 4 literrel kellett indulni a 10 óra elején, ami egyúttal a 9. óra vége is.
Ja nem, mert nem óránként, hanem 2 óránként párolog el a fele. Ez sajna diffegyenlet, első lépés akkor, hogy meg kell határozni, hogy ha 2 óra alatt párolog el a fele, akkor mennyi párolog el 1 óra alatt.
Mielőtt ebbe belebonyolódnék, megkérdezem, hogy ilyen jellegű megoldást vársz-e? Ki kellene tudnod ezt számolni?
Esetleg annyit még érdemes hozzátenni, hogy a regőkör rezonanciafrekvenciája is szépen egyszerűn kijön a komplex tartományban számolással.
Szintén még gimiben próbáltam megfejteni, hogy az 1/wC és az wL ismeretében hogy jön ki a rezonanciafrekvencia, de nem tudtam rájönni. (w itt "omega", 2 pi * f (f: frekvencia)). Ezek az adatok benne voltak a négyjegyű függvénytáblában, de az persze nem, hogy kevés az impedancia abszolút értékét tudni, és hogy valójában a komplex értékkel lehet számolni (és közben diffegyenletet megoldani :).
Így a soros rezgőkör (egy kapacitás és egy induktivitás sorba kötve) impedanciája a tagok impedanciájának összege lesz:
(közös nevezőre hozás, összeadás, i*i = -1, és voila! :)
Na most w függvényében itt az jön ki, hogy van egy speciális frekvencia, amikor a számláló nulla lesz:
1-w2LC = 0
1 = w2LC
w2 = 1/LC
w= 1 / n.gyök(LC)
f = 1 / 2pi*n.gyök(LC)
És meg is vagyunk, ez a rezgőkör rezonanciafrekvenciája. És ez úgy tudott ilyen egyszerűen kijönni, hogy i*i = -1, különben a számláló nem tudna nulla lenni semmilyen frekvencián.
A feladat szerint folyadékot kell tölteni egy tartályba óránként úgy, hogy minimális legyen a párolgási veszteség, (két óra alatt elpárolog a fele), és biztosítani, hogy mindig legalább a minimális szinten legyen tíz órán át.
Óránként 0-5 egységet lehet betölteni és minimum 2 egységnek kell lennie, a betöltési idő pillanatnyi gyorsasággal történik.
Ránézésre arra jutottam, hogy 3 egységgel kell kezdeni és mindig csak 1-1 egységet utántölteni, de nem tudom bizonyítani, hogy egy óránként mennyi van a tartályban és mennyi lesz a párolgási veszteség, és ez miért ekkor a minimális. :-(
Nem emlékszem már a levezetésre, de a lényeg abban rejlik, hogy egyre magasabb lesz a tornyunk (tetszőlegesen magas lehet), és az emelés úgy történik, hogy mindig alulra csúsztatjuk be az újabb elemeket, egyre csökkenő eltolással. Így a nagy tömeget képviselő rész egyre függőlegesebb, egyre nagyobb tömegű, ezáltal képes egyensúlyt tartani az egyre távolabb kinyúló kisebb tömegű résszel.
(Ha csak egy sima forditott L-alakot építenénk, akkor is igaz lenne, hogy tetszőleges távolságban kinyúló vizszintes részhez mindig megmondható, hogy milyen magas függőleges rész szükséges, hogy annak elég tömege legyen ahhoz, hogy az L-ünk egyensúlyban maradjon. (Ha végtelennel kezd az ember "dolgozni", akkor abból gyakran származnak fura dolgok... :D))
Előbb azt kellene kiszámolni, hogy két nullasorozat (azaz nullához konvergáló sorozat) hányados-sorozata mihez konvergál? (Spolier: nem lehet általánosan megválaszolni a kérdést.)
