Keresés

Próbálom megérteni a jelöléseit. Nekem nem így tanították.

Nem konzisztens.

Először halmazról beszél. {|k>}

Aztán meg ez a <k|k'> lrtelmetlennke tűnik a Dirac-deltával.

Ez szerintetek jó?

Valahogy úgy kezdődne, hogy adott a háromdimenziós skalárszorzatos [és vektorszorzazos] V térben egy ei és egy fj ortonormált bázis, amelyekre e1×e2=e3 és f1×f2=f3 is teljesül. Ekkor x-nek ei szerinti koordinátái az xei számok, fj szerinti koordinátái az xfi számok [skalárszorzat].

Azt is meg lehet mondani, hogy mik ei koordinátái fj szerint, és fordítva. (Ez tkp egy 3x3 mátixot jelent az egyik irányú transzformációnál, és ennek inverzét a másik irányban, a mátrix sorai ortonormáltak (és az oszlopok is)).

Úgy is mondhatjuk hogy van egy E megy egy F transzformáció V-ről R³-ra, ezekről kellene valamit igazolni.

Igazad lehet, Feynman is ezzel érvel valamelyik fejezetben.

De ezt azért mégis be kellene látni,

valamilyen reprezentációban végigszámolni.

Közben a kollégáim úgy belebonyolódtak egy mértékegység átváltásba, mint majom a cérnába.

Mert nem ugyanott van a két skála kezdőpontja.

Hogy függne, ha egyszer semmilyen koordináta nem szerepel benne? Legalábbis, ha a végét így átírjuk:

A(r)=(k×r)/2, B(r)=(rot A)(r)=k

Azt próbálom belátni, hogy ez a megoldás nem függ az elforgatástól.

Közben még jött a követelménylistára az eltolási invariancia is.

Legyen mondjuk A(r)=(k×r)/2, B(r)=(rot A)(r)=(0,0,1)

Van két jelölt.

1) A = - i y/2 + j x/2

Ez egy szemléletes tankönyvi példa, de csak a tengelyek egyfajta állása mellett működik.

Derékszögben elforgatva teljesen meg is szűnik.

2) r² = x² + y² szerint

A = B×r

és B || e₃

Erről kellene belátni, hogy az elforgatás a z-tengely körül vagy az eltolás az x-y síkban nem változtatja meg.

(Elvégre nem tudjuk, hogy hol van a világ közepe és milyen állásúak a világ koordináta tengelyei.)

"Szeretnék egy olyan R³->R³ függvényt találni, ami teljesíti az alábbi feltételeket: ..."

B(x,y,z) = rot A(x,y,z)

ahol B || e₃

és B invariáns az A elforgatásra a z-tengely kürül és az eltolására az x-y síkban.

(Csak most előbb ki kell hevernem a fél délutánt kitevő vitát egy Celsius-Farenheit átszámítás jellegű problémáról.)

Komoly matematikai problémával küzdünk.  El sem hinnéd. :(

Lényegében mint a Farenheit-Celsius átszámítás, csak nem ezekkel a mértékegységekkel.

y=ax+b

Nem ugyanott van a két skála kezdőpontja és eltérő a meredeksége.

reménytelen... xd

Csak egy futó ötlet: mit szólnál egy olyan verzióhoz, hogy mindezt az elején kezded el?
Mondjuk hosszas mese nem kell, csak olyasmi, hogy: "Szeretnék egy olyan R³->R³ függvényt találni, ami teljesíti az alábbi feltételeket: ..."

Parciális differenciálásnál ha x vagy y változik, attól a vektor is változik.

B_z = ∂_x r cos φ - ∂_y r sin φ

Tehát változik r és (többnyire) φ is.

Egyrészt nem mondhatjuk, hogy r és φ konstans.

Másrészt nem helyettesíthetünk vissza formálisan, hogy

r = i r cos φ + j r sin φ

alapján

B_z = ∂_x x - ∂_y y

Sajnos ki kell számolni r és φ változását,

majd alkalmazni a szorzat szabályt. Ronda képlet.

És ahogy Máris szomszéd mondaná: nem vállalom.

Egyszerűbb numerikusan.

A kérdést nem írtad le, de a válasz ilyesmi:

Az r vektort bontsuk függőleges és vízszintes részre: r_f=(rk)k, r_v=r-rf, vagyis r=(x,y,z), rf=(0,0,z), rv=(x,y,0)

Ekkor r_v' = (r_vxk)/|r_v| = (y/|r|, -x/|r|, 0) és r_v" = (r_v'xr)/|r|=(0,0,1)

Az érintő irányú egységvektor nem jó. A vektori szorzatot nem kell osztani a (tengelytől mért) távolsággal.

Lásd: egyenes és pont távolsága. Feynman ezt jelőli r helyett r'-vel.

Vagyis nem polárkoordinátákat, hanem hengerkoordinátákat kell használni.

(r,φ,z)

Numerikusan kijött az eredmény.

Most két kérdés van:

1) Hogyan lehet ezt kihozni képlettel? Ez valami implicit dolog.

2) Mi történik, ha elforgatjuk a tengelyeket?

Utóbbi kérdés numerikusan egyszerűbb.

Vagy φ felyett φ+konstans. Könnyen belátható (könnyek nélkül), hogy ez változást nem okoz.

Paraméteresen csak a kör kezdőpontját toljuk el.

Kicsit nehezebb, ha a parciális differenciálás irányát változtatjuk meg.

Többet kell számolni.

A válasz 42. :----D

Senki nem tudja a kérdést.

Egyébként alakul a dolog. Numerikusan:

A harmadik dimenziót nem tudom jól ábrázolni, ezért a két parciális deriváltat jelenítem meg.

(Az egyiknek az előjelében nem vagyok biztos, még ellenőriznem kell.)

Úgy tűnik, hogy már független a helytől, első ránézésre.

B_z = ∂_x x - ∂_y y

Árulás van, mert itt x és y nem teljes értékű szabadsági fok.

A visszahelyettesítés megtévesztő.

Ez valami implicit differenciálás.

Nem szabad ész nélkül számolgatni!

Vissza egy lépést:

B_z = ∂_x r cos φ - ∂_y r sin φ

Ha itt x vagy y "önállóan" változik, azaz parciálisan,

amiatt r is változni fog. Átgondolom...

Szerintem először kellene a kérdést kitalálni, és csak aztán a választ.

Pl. r-rel azonos XY síkban levő, merőleges egységvektor: r' = (rxk)/|r|

r-re és r'-re merőleges egységvektor: (rxr')/|r|

Ez elvileg bármelyik síkban igaz a henger (koordináta-rendszer) forgástengelyére merőlegesen.

Amit felrajzolt Feynman, az k×r.

|  i  j k |

| 0 0 1 |

| x y 0 |

ahol x²+y²=r².

Valahogy az utóbbi egyenletet be kellene csempészni az elsőbe.

(Csak még korán van és lassú vagyok.)

x = r cos φ

y = r sin φ

A determinánst kifejtjük a második sor szerint. Sakktábla szerint negatív előjel dukál neki.

Tehát (behelyettesíté sután) a vektorpotenciál:

A = jx-iy = j r cos φ - i r sin φ

Visszajutottunk oda,

amivel már próbálkoztam.

Ennek keressük a rotációját.

B = rot A

|    i            j        k  |

|   ∂_x         ∂_y       ∂_z |

| r sin φ  r cos φ   0  |

B_x = ∂_y 0 - ∂_z r cos φ = 0

B_y = ∂_z r sin φ - ∂_x 0 = 0

B_z = ∂_x r cos φ - ∂_y r sin φ

Valahol ezt elronthattam. :(

|  i     j    k  |

| ∂_x  ∂_y   ∂_z |

|  y    x    0  |

B_z = ∂_x x - ∂_y y

Mi a kérdés? (Az előző kérdés ugye a helyvektorral azonos XY síkban levő, arra merőleges egységvektor képlete volt, az volt az (rxk)/|r| )

Igen, talán ez a megszokottabb, ha jól emlékszem, de a C^-1AC is jó. Konvenció, nézőpont kérdése, ilyenek. Nekem így jobban illeszkedett a vizsgált témához, jelöléseihez.

B=C^-1

B^-1=C

Nekem a könyvemben a bázistranszformáció BAB^-1.

De majd kikeresem...

Hoztam néhány ábrát...

Úgy tűnik, mintha a (-y/2, x/2, 0) jó megoldás lenne.

De ez csak a koordinátarendszer megfelelő állása esetén teljesül.

Ha derékszögben elforgatjuk, megszűnik az egész.

Ez nagyjából olyan, mintha Pithagorasz tételénél kikötnénk, hogy a háromszög egyik oldala függőleges legyen. :(

Értelemszerűen amikor egy jelenséget vizsgálunk, nem tehetünk speciális kikötéseket.

Vagy éppenséggel nem is tudjuk előre.

Éppen ezért használnak a fizikusok vektorokat, mert az független a reprezentációtól.

Nézzünk egy olyan "próbálkozást" Feynmantól, amely invariáns az axiális elforgatásra.

Hoppá, a képlet lemaradt: B×r'

(Ahol r' a tengelytől mért távolság, nem az origótól. Hengersugár koordináta.)

Úgy tűnik, ez nem egységvektor. Újra kell számolnom nevező nélkül...

Itt az első rész rossz. Mert az olyan forgatás (a koordináta-rendszer elforgatása)  R^-1∘(F∘R)

A koordináta-rendszerben, mint ábrázolási térben a magtér és képtér együtt forog, mert egymás szerinti az egész szerkezete. 

Igen. 

Akkor minden rendben.

Itt tegnap még nem jöttem rá, hol a bibi, az indoklás helytelen. (sorry) 

Ez a megfogalmazás inkább a koordináta(-rendszer)-transzformációjához passzol. Tehát az  R⁺FR  (= R^-1FR)

Mivel  FR = RF

R^-1FR = R^-1RF = F

az F vektormező változatlan marad:

    ➡️

⬆️   ⬇️

    ⬅️

(de nem erről volt szó.) 

O.K. Rájöttem, én rontottam el. Az elgondolásom egyik felében a forgatásra, mint transzformációra gondoltam (pl. koordináta-transzformáció) , de itt csak simán függvényként való alkalmazása van.

A forgatás, mint transzformáció:   R⁺FR

De itt meg csak   FR  vagy  RF   függvénykompozíció van. (Csak a magteret vagy a képteret forgatjuk el. Koordináta-transzformációnál, transzformációnál mindkettőt egyszerre.) 

Mivel   F = SR'=R'S   ahol R' egy ugyanezen síkú másik forgatás (konkrétan egy 90°-os), S egy irányfüggetlen radiális művelet (forgatásszimmetrikus) (konkrétan ez az 1/r_xy faktor), tehát felcserélhetőek. Az ugyanazon síkú forgatások is felcserélhetőek:  RR' = R'R

Tehát   FR = RF   lesz. 

FR = SR'R = SRR' = RSR' = RF